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《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT课件(第1课时函数的概念)

《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT课件(第1课时函数的概念) 详细介绍:

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《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT课件(第1课时函数的概念)

第一部分内容:学 习 目 标

1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.能用集合与对应的语言刻画出函数,体会对应关系在刻画数学概念中的作用.(重点、难点)

2.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.(重点)

核 心 素 养

1.通过学习函数的概念,培养数学抽象素养.

2.借助函数定义域的求解,培养数学运算素养.

3.借助f(x)与f(a)的关系,培养逻辑推理素养.

... ... ...

函数及其表示方法PPT,第二部分内容:自主预习探新知

新知初探

1.函数的概念

定义

给定两个_________A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的______实数x,按照对应关系f,在集合B中都有______确定的实数y=f(x)与x对应,则称f为定义在集合A上的一个______,记作:y=f(x),x∈A,其中x称为自变量,y称为因变量

三要素

对应关系  y=f(x),x∈A

定义域  自变量x的取值的范围 (即数集A)

值域  所有函数值组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈__}

思考:(1)有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”,这种看法对吗?

(2)f(x)与f(a)有何区别与联系?

提示:(1)这种看法不对.

符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,f是对应关系,y是自变量的函数,当x允许取某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),h(x)等来表示函数.

(2)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一个常数.

2.两个函数相同

一般地,如果两个函数的定义域______,对应关系也______(即对自变量的每一个值,两个函数对应的函数值都相等),则称这两个函数就是同一个函数.

初试身手

1.思考辨析

(1)函数y=f(x)=x2,x∈A与u=f(t)=t2,t∈A表示的是同一个函数.(  )

(2)函数y=f(x)=x2,x∈[0,2]与g(x)=2x,x∈[0,2]表示的是同一个函数.(  )

(3)函数y=f(x)=x2,x∈[0,2]与h(x)=x2,x∈(0,2)表示同一个函数.(  )

[提示](1)两个函数定义域相同,对应关系也相同.

(2)两函数的对应关系不同.

(3)两函数的定义域不同.

2.函数y=1x+1的定义域是(  )

A.[-1,+∞) B.[-1,0)

C.(-1,+∞)  D.(-1,0)

3.若f(x)=11-x2,则f(3)=________.

4.下表表示y是x的函数,则函数的值域是________.

... ... ...

函数及其表示方法PPT,第三部分内容:合作探究提素养

函数的概念

【例1】(1)下列四组函数,表示同一函数的是(  )

A.f(x)=x2,g(x)=x

B.f(x)=x,g(x)=x2x

C.f(x)=3x3,g(x)=x

D.f(x)=x2,g(x)=(x)4

(2)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数.

①A=R,B=R,对应法则f:y=1x2;

②A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4;

③A={1,2,3},B={4,5,6},对应法则如图所示.

(1)C [选项A中,由于f(x)=x2=|x|,g(x)=x两函数对应法则不同,所以它们不是同一函数;

选项B中,由于f(x)=x的定义域为R,g(x)=x2x的定义域为{x|x≠0},它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;

选项C中,f(x)=3x3=x,g(x)=x的定义域和对应法则完全相同,所以它们是同一函数;

选项D中,f(x)=x2的定义域为R,g(x)=(x)4=x2的定义域为[0,+∞),两个函数的定义域不相同,所以它们不是同一函数.]

(2)[解]①A=R,B=R,对于集合A中的元素x=0,在对应法则f:y=1x2的作用下,在集合B中没有元素与之对应,故所给对应不是定义在A上的函数.

②由f(1)=f(2)=3,f(3)=4,知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下,在集合B中都有唯一的元素与之对应,故所给对应是定义在A上的函数.

③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素,且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应,故所给对应不是定义在A上的函数.

规律方法

1.判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)A,B必须是非空实数集.

(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系.

2.判断函数相等的方法

(1)先看定义域,若定义域不同,则不相等;

(2)若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.

课堂小结

1.判断两个函数相同

函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则,因此,判定两个函数是否相同时,就看定义域和对应法则是否完全一致,完全一致的两个函数才算相同.

2.对函数定义的再理解

(1)函数的定义域必须是非空实数集,因此定义域为空集的函数不存在.如y=11-x+x-3就不是函数;集合A中的元素是实数,即A≠∅且A⊆R.

(2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三性只要有一个不满足,便不能构成函数.

(3)函数f(x)的定义域是非空数集A,但值域不一定是非空数集B,而是非空数集B的子集.

例如,对于从集合A=R到集合B=R的函数y=x2,值域是{y|y≥0},而不是R.

... ... ...

函数及其表示方法PPT,第四部分内容:当堂达标固双基

1.思考辨析

(1)函数的定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了.(  )

(2)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.(  )

(3)函数的定义域和值域一定是无限集合.(  )

2.下列函数中,与函数y=x相等的是(  )

A.y=(x)2 B.y=x2

C.y=|x|  D.y=3x3

3.将函数y=31-1-x的定义域为________.

4.已知函数f(x)=x+1x.

(1)求f(x)的定义域;

(2)求f(-1),f(2)的值;

(3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.

... ... ...

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