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《函数的单调性》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性及函数的平均变化率)

《函数的单调性》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性及函数的平均变化率) 详细介绍:

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《函数的单调性》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性及函数的平均变化率)

第一部分内容:学习目标

了解函数单调性的概念,会用定义判断或证明函数的单调性

会借助图像和定义求函数的单调区间

会根据函数的单调性求参数或解参数不等式

... ... ...

函数的单调性PPT,第二部分内容:自主学习

问题导学

预习教材P95-P100的内容,思考以下问题:

1.增函数的概念是什么?

2.减函数的概念是什么?

3.什么是函数的单调区间?

新知初探

1.增函数、减函数的概念

一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D:

(1)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有____________,则称y=f(x)在I上是增函数(也称在I上____________),如图(1)所示;

(2)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有_____________,则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上_____________),如图(2)所示.

两种情况下,都称函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的_____________,也可分别称为_________________或____________________).

■名师点拨

(1)定义中的x1,x2有以下3个特征

①任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;

②有大小,通常规定x1<x2;

③属于同一个单调区间.

(2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”连接.如函数y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减.

2.函数的平均变化率

(1)直线的斜率

一般地,给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1≠x2时,称__________为直线AB的斜率;当x1=x2时,称直线AB的斜率__________.

直线AB的斜率反映了直线相对于__________的倾斜程度.

若记Δx=x2-x1,相应的Δy=y2-y1,则当Δx≠0时,斜率可记为________.

(2)平均变化率

一般地,当x1≠x2时,称ΔfΔx=_____________

为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率.

3.y=f(x)在I上是增函数(减函数)的充要条件

一般地,若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2),ΔyΔx=y2-y1x2-x1(即ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1),则:

(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是________在I上恒成立;

(2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是________在I上恒成立.

自我检测

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.(  )

(2)若函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y=f(x)的单调递减区间是[1,3].(  )

(3)若函数f(x)为R上的减函数,则f(-3)>f(3).(  )

(4)若函数y=f(x)在定义域上有f(1)<f(2),则函数y=f(x)是增函数.(  )

(5)若函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,则f(x)的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(  )

函数y=f(x)在区间[-2,2]上的图像如图所示,则此函数的增区间是(  )

A.[-2,0]  B.[0,1]

C.[-2,1]  D.[-1,1]

下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是(  )

A.y=-1x  B.y=x

C.y=x2  D.y=1-x

若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则有(  )

A.k>12  B.k>-12

C.k<12  D.k<-12

... ... ...

函数的单调性PPT,第三部分内容:讲练互动

函数单调性的判定与证明

证明函数f(x)=x+4x在(2,+∞)上是增函数.

互动探究

(变问法)若本例的函数不变,试判断f(x)在(0,2)上的单调性.

规律方法

利用定义证明函数单调性的步骤

[注意]作差变形是证明函数单调性的关键,且变形的结果多为几个因式乘积的形式.

跟踪训练

1.下列四个函数在(-∞,0)上为增函数的是(  )

①y=|x|+1;②y=|x|x;③y=-x2|x|;④y=x+x|x|.

A.①② B.②③

C.③④  D.①④

2.已知函数f(x)=2-x/x+1,证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数.

求函数的单调区间

画出函数y=-x2+2|x|+3的图像,并指出函数的单调区间.

互动探究

(变条件)将本例中“y=-x2+2|x|+3”改为“y=|-x2+2x+3|”,如何求解?

... ... ...

函数的单调性PPT,第四部分内容:达标反馈

1.函数y=x2-6x的减区间是(  )

A.(-∞,2] B.[2,+∞)

C.[3,+∞)  D.(-∞,3]

2.设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系为(  )

A.f(x1)<f(x2)

B.f(x1)>f(x2)

C.f(x1)=f(x2)

D.不能确定

3.若f(x)在R上是单调递减的,且f(x-2)<f(3),则x的取值范围是________.

4.如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图像,试写出函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间.

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